Racines carrées d'un nombre complexe - Corrigé

Énoncé

Partie A - Généralité

Soit `c` un nombre complexe. On cherche s'il existe `z \in \mathbb{C}`  tel que \(z^2=c\) .

Soit \(z\)  un nombre complexe tel que \(z^2=c\) .

On pose \(c=a+ib\) avec \(a\) et \(b\) des nombres réels, et \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\)  des nombres réels.

1. Montrer que \(z^2=c \iff\begin{cases}x^2 - y^2 = a ~~ (L1) \\2xy = b ~~ (L2)\end{cases}\) .

2. Montrer que  \(\left\vert z \right\vert = \sqrt{a^2 + b^2}\) .
On a donc \(z^2=c \iff\begin{cases}x^2 - y^2 = a ~~ (L1) \\2xy = b ~~ (L2) \\x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2} ~~ (L3) \\\end{cases}\)

3. Selon le signe de \(b\) , résoudre ce système et conclure.

Partie B - Applications

1. Déterminer les nombres complexes dont le carré est égal à \(-\dfrac{3}{2} +i\dfrac{\sqrt{7}}{2}\) .

2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^2+3z+4=0\)  puis l'équation \(z^4+3z^2+4=0\) .

Solution

Partie A

1. \(z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy\) .
Donc, par unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe, 
\(z^2=c \iff\begin{cases}x^2 - y^2 = a ~~ (L1) \\2xy = b ~~ (L2)\end{cases}\) .

2.  \(\left\vert z^2 \right\vert = \left\vert a+ib \right\vert = \sqrt{a^2+b^2}\) et  \(\left\vert z^2 \right\vert = \left\vert z \right\vert^2 = x^2 + y^2\) , donc \(x^2+y^2 = \sqrt{a^2+b^2}\) .
Et finalement,
\(z^2=c \iff\begin{cases}x^2 - y^2 = a ~~ (L1) \\2xy = b ~~ (L2) \\x^2 + y^2 = \sqrt{a^2+b^2} ~~ (L3)\end{cases}\)

3. En faisant les combinaisons \((L1)+(L3)\) et \((L3)-(L1)\) , on obtient,
\(z^2=c \iff\begin{cases}2x^2 = a+\sqrt{a^2+b^2} \\2xy = b \\2y^2 = \sqrt{a^2+b^2}-a\end{cases}\iff\begin{cases}x^2 = \dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2} \\2xy = b \\y^2 = \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}\end{cases}\iff\begin{cases}x = \sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} \text{ ou }x = -\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} \\2xy = b \\y = \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \text{ ou } y = -\sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\end{cases}\)

Donc,

• si \(b>0\) , alors \(2xy=b\) donne que \(x\) et \(y\) sont de même signe,
  donc   \(z^2=c \iff x = \sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} \text{ et }y = \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\)  
  ou  \(x = -\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} \text { et } y = -\sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\)
  Donc \(S = \left\lbrace \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} ;-\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} -i \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \right\rbrace\)
• si \(b<0\) , \(2xy=b\) donne que \(x\) et \(y\) sont de signe contraire, donc
  \(z^2=c \iff x = \sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} \text{ et }y = -\sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\)
  ou   \(x = -\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} \text { et } y = \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\)
  Donc \(S = \left\lbrace \sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} - i\sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} ;-\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} +i \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \right\rbrace\)
• Si \(b=0\) , on a     \(z^2=c \iff z^2=a\) , donc 
  \(S = \{ \sqrt{a} ; - \sqrt{a} \}\)   si \(a >0\)  ;
  \(S = \{ i\sqrt{-a} ; -i \sqrt{-a} \}\) si \(a <0\)  ;
  \(S = \{ 0 \}\) si \(a=0\) .

Partie B

1. On cherche \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(z^2 = -\dfrac{3}{2} +i\dfrac{\sqrt{7}}{2}\) .
On a \(-\dfrac{3}{2} +i\dfrac{\sqrt{7}}{2} = a+ib\) avec \(a=-\dfrac{3}{2}\) et \(b=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\) .
On a alors : \(\sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}= \sqrt{ \dfrac{2-\left( -\frac{3}{2} \right)}{2} }= \sqrt{ \dfrac{7}{4} }= \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)
et  \(\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}= \sqrt{ \dfrac{-\frac{3}{2} +2}{2} }= \sqrt{ \dfrac{1}{4} }= \dfrac{1}{2}\) .
Donc comme \(b>0\) , d'après les résultats de la partie A, les nombres complexes dont le carré est égal à \(-\dfrac{3}{2} +i\dfrac{\sqrt{7}}{2}\) sont \(\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} - i\sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}= \dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)
et \(-\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} +i \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}= -\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{7}}{2}\) .

2.  \(z^2+3z+4\) est un trinôme du second degré dont le discriminant \(\Delta\) vaut   \(\Delta = 3^2-4\times1 \times 4 = -7\) . \(\Delta < 0\)  donc l'équation \(z^2+3z+4=0\) admet deux solutions complexes conjuguées : \(z_0 = \dfrac{-3-i\sqrt{7}}{2} = - \dfrac{3}{2} -i \dfrac{\sqrt{7}}{2}\) et \(\overline{z_0} = - \dfrac{3}{2} + i \dfrac{\sqrt{7}}{2}\) .

Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(z^4+3z^2+4=0 \iff (z^2)^2 + 3(z^2) +4=0 \iff z^2 = z_0\) ou \(z^2 = \overline{z_0}\) .

Et, avec la question B.1., on a
\(z^2 = \overline{z_0}\iff z^2 = - \dfrac{3}{2} + i \frac{\sqrt{7}}{2}\iff z = \dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)  ou \(z= -\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{7}}{2}\) .

Et, de même qu'à la question B.1., on montre que : 
\(z^2 = z_0\iff z^2 = - \dfrac{3}{2} - i \dfrac{\sqrt{7}}{2}\iff z = - \dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)   ou \(z= \dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{7}}{2}\) .
Finalement l'ensemble de solutions de l'équation  \(z^4+3z^2+4=0\) est :  \(S= \left\lbrace- \dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt{7}}{2} ;- \dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{7}}{2} ;\dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt{7}}{2} ;\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right\rbrace\) .